Mathematica – Revista Eletrônica de Divulgação Matemática
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Caracterização dos conjuntos compactos da reta real
Muitas das propriedades e aplicações das funções reais contínuas são obtidas em conjuntos compactos. Nosso objetivo aqui é caracterizar os conjuntos compactos da reta real. Inicialmente faremos uma apresentação dos conceitos topológicos da reta real, entre eles, as definições de conjunto aberto, conjunto fechado e conjunto compacto. O nosso resultado principal apresentará uma equivalência de quatro definições distintas de conjunto compacto da reta real.
Derechos de autor 2025 Edson Carlos Licurgo Santos http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
A necessidade da escrita secreta para o homem é um ponto indiscutível; desde a antiguidade até os dias atuais, o sigilo na comunicação deve ser tão velho quanto o surgimento da escrita. No decorrer do tempo, é possível perceber a evolução de códigos e cifras, que foram impulsionados pela ameaça de informações secretas acabarem nas mãos de inimigos, e também devido aos decifradores que ao descobrirem o funcionamento de uma cifra, obrigavam os cifradores a inventarem uma nova cifra desconhecida e mais segura. Apresentamos aqui alguns aspectos da Criptografia RSA, como sua história, método de funcionamento e os conceitos de matemática envolvidos. Finalizamos com um exemplo de como a Criptografia RSA funciona.
Derechos de autor 2025 Dafne Moraes Deparis Teixeira, Raquel Lehrer http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
KKT à luz da Independência Linear das Restrições
As condições de Karush-Kuhn-Tucker são conhecidas por oferecerem uma condição necessária na busca de soluções para problemas da otimização mono objetivos, sujeitos a restrições de desigualdades. No entanto, essas condições sozinhas são insuficientes para garantir o status de condição de otimalidade. Para corrigir essa debilidade, são necessárias condições de qualificações que permitem a verificação de KKT. Neste trabalho utilizamos algumas das heranças de um vetor derivada dado pelo Teorema da Função Implícita, com objetivo de provar as condições de KKT à luz da qualificação de Independência Linear dos gradientes das restrições.
Derechos de autor 2025 André Luiz Zanin da Cruz, Paulo Domingos Conejo http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
Representação de rotações no espaço com quatérnios
É comum e intuitivo encontrar a representação de rotações no espaço em termos de ângulos e eixos, no entanto, existem outras representações para rotações com grande utilidade prática. Uma alternativa para a representação de rotações é a utilização de quatérnios. Os quatérnios, entre outras propriedades, podem representar uma rotação no espaço e ser operados, de maneira a representar novas rotações, apenas com operações básicas de soma e produto. Com isso em mente, esse artigo tem o objetivo de mostrar a representação de rotações através de quatérnios.
Derechos de autor 2025 Flavio Roberto Dias Silva http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
Otimização quadrática restrita e o método de programação quadrática sequencial
Este trabalho teve por intuito apresentar o algoritmo PQS para então mostrar, matematicamente, sua eficiência em resolver problemas de programação quadrática com restrições de igualdade em apenas uma iteração. Para tanto, foram enunciados alguns conceitos básicos da otimização restrita, bem como os conceitos mínimos associados ao método sequencial. Por fim, o algoritmo PQS foi implementado em linguagem Python, e três exemplos numéricos que mostram a capacidade de resolver problemas envolvendo restrições de igualdade com baixo custo temporal foram apresentados.
Derechos de autor 2025 Alex Augusto Nunes Machado, Simone Aparecida Miloca http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
Soluções trigonométricas de equações polinomiais de grau 3
No início do século XVI, alguns matemáticos, fizeram esforços para encontrar uma fórmula para a resolução de equações polinomiais de grau 3. A ideia era obter uma fórmula que permitisse encontrar (pelo menos) uma raiz da equação manipulando apenas os coeficientes da própria equação. O objetivo deste texto é mostrar como podemos determinar (pelo menos) uma raiz de uma equação polinomial de grau 3 usando expressões trigonométricas.
Derechos de autor 2025 Sandra Maria Tieppo, Sandro Marcos Guzzo http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
Aproximação de funções por série de Fourier-Bessel
Algumas séries fornecem maneiras de representar funções relativamente complicadas em termos de funções mais elementares ou familiares. As séries de potência são os exemplos mais clássicos quando se fala de expansão de uma função em série. No entanto, existem outras séries importantes na Matemática, como a série de Fourier, a série de Laurent e a série de Fourier-Bessel que é o foco do nosso estudo. Dessa forma, este trabalho tem como objetivo apresentar as Funções de Bessel e mostrar como representar algumas funções como uma série envolvendo estas funções, que é conhecida como série de Fourier-Bessel. Para isso, apresentaremos alguns aspectos da Equação de Bessel, das Funções de Bessel e das propriedades que permitem expressar funções como uma série das Funções de Bessel. Por fim, com o intuito de ilustrar o procedimento, apresentaremos os gráficos de algumas aproximações utilizando o software Scilab.
Derechos de autor 2025 Cintya Akemi Okawa, Sandro Marcos Guzzo http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
Métodos do Gradiente e de Newton em Otimização Quadrática Convexa
Este trabalho tem por objetivos apresentar uma breve contextualização e formalização de conceitos envolvendo problemas pertencentes a uma área da Matemática denominada Otimização. O interesse está em uma classe particular nomeada Programação Quadrática Irrestrita o qual aparece em diversas situações práticas tanto na fase de modelagem como em processos de busca de soluções em outros métodos de otimização. Para tanto, descrevemos resultados teóricos envolvendo condições de otimalidade para problemas irrestritos bem como apresentamos dois algoritmos de busca direcionais, os métodos do Gradiente e de Newton, para então justificar matematicamente os motivos pelos quais o método de Newton resolve um problema dessa classe em apenas uma iteração, bem como demonstrar a fórmula utilizada para determinar o tamanho do passo no Método do Gradiente.
Uma demonstração da desigualdade isoperimétrica utilizando a desigualdade de Brunn-Minkowski
Neste trabalho apresentamos uma demonstração da desigualdade isoperimétrica fazendo uso da desigualdade de Brunn-Minkowski. A vantagem desta abordagem é a sua extensão natural ao caso tridimensional, além de servir como um exemplo de aplicação do Cálculo Variacional no estudo de problemas geométricos.
Derechos de autor 2025 Felipe Costa http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0